Izhikevich（イジケヴィッチモデル）

Hodgkin–Huxley modelなどのコンダクタンス依存型モデルは複雑な式で計算量もそれなりにいるので，簡易な形に落とし込んだモデルがIzhikevich modelである．以下のような2変数の常微分方程式で表すことができる．

${ \displaystyle \frac{dv}{dt} = 0.04v^{2} + 5v + 140 - bu + I \\ \frac{du}{dt} = a(v-u) }$

ここで変数 ${v(t)}$ と ${u(t)}$ は，Izニューロンが発火するたびに以下のような規則で状態を更新する．

${v(t)}$ の値が30になった場合， ${v(t)}$ の値をcにし， ${u(t)}$ に ${d}$ を加算する．

if v = 30 mV
then v <- c, u <- u+d

それぞれの定数は以下のように設定した．

${ \displaystyle a = 0.02 \\ b = 0.2 \\ c = -65 \\ d = 40 }$

初期値問題にはルンゲ＝クッタ法を使用した．以下実装したコード

extern crate gnuplot;

fn rk4<F: Fn(f64)->f64>(f: F, y: f64, dt: f64) -> f64 {
    let k1 = dt * f(y);
    let k2 = dt * f(y + k1*0.5);
    let k3 = dt * f(y + k2*0.5);
    let k4 = dt * f(y + k3);
    (k1 + 2.0*k2 + 2.0*k3 + k4) / 6.0
}

fn main(){
    const A: f64 = 0.02;
    const B: f64 = 0.2;
    const C: f64 = -65.0;
    const D: f64 = 6.0;

    let mut t = -0.0;
    let dt = 0.001;
    let mut i_ext ;
    let mut v = -70.0;
    let mut u = B*v;

    let mut x = Vec::new();
    let mut y = Vec::new();

    while t <= 100.0 {

        if t > 30.0 && t < 70.0 {
            i_ext = 14.0;
        } else {
            i_ext = 0.0;
        }

        let d_v = move |y:f64| 0.04*y*y+5.0*y+140.0-B*u+i_ext;
        v += rk4(d_v, v, dt);

        let d_u = move |y:f64| A*(v - y);
        u += rk4(d_u, u, dt);

        if v > 30.0 {
            y.push(30.0);
            v = C;
            u += D;
        }else {
            y.push(v);
        }
        x.push(t);

        t += dt;
    }

    let mut fg = gnuplot::Figure::new();
    fg.axes2d().lines(x.iter(), y.iter(), &[gnuplot::Color("blue")]);
    fg.echo_to_file("iz.plt");
}